Открытый урок физики гармонические колебания. Тема урока: Колебательное движение. Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота, фаза колебаний. Уравнение гармонических колебаний II. Актуализация знаний и изучение нового материала
УРОК 2/24
Тема. Гармонические колебания
Цель урока: ознакомить учащихся с понятием гармонических колебаний.
Тип урока: урок изучения нового материала.
ПЛАН УРОКА
Контроль знаний |
1. Механические колебания. 2. Основные характеристики колебаний. 3. Свободные колебания. Условия возникновения свободных колебаний |
|
Демонстрации |
1. Свободные колебания груза на пружине. 2. Запись колебательного движения |
|
Изучение нового материала |
1. Уравнение колебательного движения груза на пружине. 2. Гармонические колебания |
|
Закрепление изученного материала |
1. Качественные вопросы. 2. Учимся решать задачи |
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Во многих колебательных системах при малых отклонений от положения равновесия модуль вращательной силы, а значит, и модуль ускорения прямо пропорционален модулю смещения относительно положения равновесия.
Покажем, что в таком случае смещение зависит от времени по закону косинуса (или синуса). С этой целью проанализируем колебания груза на пружине. Выберем за начало отсчета точку, в которой находится центр масс груза на пружине в положении равновесия (см. рисунок).
Если груз массой m смещен от положения равновесия на величину х (для положения равновесия х = 0), то на него действует сила упругости Fx = - kx , где k - жесткость пружины (знак «-» означает, что сила в любой момент времени направлена в сторону, противоположную смещению).
Согласно второму закону Ньютона Fx = m ах. Таким образом, уравнение, описывающее движение груза имеет вид:
Обозначим ω2 = k / m . Тогда уравнение движения груза будет иметь вид:
Уравнение такого вида называется дифференциальным уравнением. Решением этого уравнения является функция:
Таким образом, за вертикального смещения груза на пружине от положения равновесия он будет совершать свободные колебания. Координата центра масс при этом изменяется по закону косинуса.
Убедиться в том, что колебания происходят по закону косинуса (или синуса) можно на опыте. Ученикам целесообразно показать запись колебательного движения (см. рисунок).
Ø Колебания, при которых смещение зависит от времени по закону косинуса (или синуса), называются гармоническими.
Свободные колебания груза на пружине представляют пример механических гармонических колебаний.
Пусть в некоторый момент времени t 1 координата колеблющегося груза равна x 1 = xmax cosωt 1 . Согласно определению периода колебаний, в момент времени t 2 = t 1 + T координата тела должна быть такой же, как и в момент времени t 1 , то есть х2 = х1 :
Период функции cosωt равен 2, следовательно, ωТ = 2, или
Но поскольку Т = 1/ v , то ω = 2 v , то есть циклической частота колебаний ω является количество полных колебаний, совершаемых за 2 секунд.
ВОПРОС К УЧАЩИМСЯ В ХОДЕ ИЗЛОЖЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Первый уровень
1. Приведите примеры гармонических колебаний.
2. Тело выполняет незатухающие колебания. Которые из величин, характеризующих это движение, постоянные, а какие меняются?
Второй уровень
Как изменяются сила, действующая на тело, его ускорение и скорость во время осуществления им гармонических колебаний?
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА
1. Напишите уравнение гармонического колебания, если его амплитуда 0,5 м, а частота 25 Гц.
2. Колебания груза на пружине описывают уравнением х = 0,1 sin 0,5 . Определите амплитуду, круговую частоту и частоту колебаний.
Тема «График гармонического колебания» рассматривается на 1 курсе в процессе освоения учебной дисциплины «Алгебра и начала анализа». Данной темой заканчивается рассмотрение главы “Тригонометрические функции”. Цель данного урока состоит не только в том, чтобы научиться строить график гармонического колебания, а также показать связь данного математического объекта с явлениями действительного мира. Поэтому рассмотрение данной темы целесообразно проводить вместе с преподавателем физики.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Министерство образования, науки и молодежной политики
Забайкальского края
Государственное образовательное учреждение
начального профессионального образования
«Профессиональное училище № 1»
Методическая разработка интегрированного урока
алгебры и физики по теме:
«Гармонические колебания»
Составили:
преподаватель физики М.Г. Грешникова
Преподаватель математики Л.Г. Измайлова
г. Чита, 2014
Пояснительная записка
Краткое описание урока. Тема «График гармонического колебания» рассматривается на 1 курсе в процессе освоения учебной дисциплины «Алгебра и начала анализа». Данной темой заканчивается рассмотрение главы “Тригонометрические функции”. Цель данного урока состоит не только в том, чтобы научиться строить график гармонического колебания, а также показать связь данного математического объекта с явлениями действительного мира. Поэтому рассмотрение данной темы целесообразно проводить вместе с преподавателем физики.
В начале урока студенты вспоминают о физических процессах и явлениях, в которых встречаются колебания (работа сопровождается презентацией). Закрепление знаний по физике предлагается в форме игры, целью которой является повторить физический смысл величин, входящих в уравнение гармонического колебания, а затем повторяются математические правила преобразования графиков тригонометрических функций с помощью сжатия (растяжения) и параллельного переноса. В конце урока проводится самостоятельная работа обучающего характера с последующей взаимопроверкой. Заканчивается урок сообщением обучающегося, который с помощью видеофрагмента знакомит студентов с маятником Фуко.
Цели урока:
- образовательная: обобщить и систематизировать знания обучающихся о гармонических колебаниях; научить обучающихся получать уравнения и строить графики полученных функций; создать математическую модель гармонических колебаний;
Развивающая: развивать память, логическое мышление; формировать коммуникативные умения, развивать устную речь;
Воспитательная: формировать культуру умственного труда; создавать ситуацию успеха для каждого обучающегося; развивать умение работать в команде.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Методы урока: частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный.
Межпредметные связи: физика, математика, история.
Наглядность и ТСО: ноутбук, проектор и экран, презентация к уроку, карточки с заданиями для игры "Один за всех и все за одного", карточки для выполнения самостоятельной работы.
Актуальность использования ИКТ на уроке:
- наглядность;
- небольшие затраты времени на объяснение;
- новизна представления информации;
- оптимизация работы преподавателя при подготовке к уроку;
- установление межпредметных связей;
- привлечение обучающихся к представлению практической стороны рассматриваемого урока;
- возможность показа опытов, проведенных обучающимися при подготовке к уроку, в записи.
Время: 90 минут.
Литература:
1. Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические материалы. -
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. –
3. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика 10. Учебник. -
4. Степанова Г.И. Сборник задач по физике для 10-11-х классов. –
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Мотивация и стимулирование познавательной деятельности.
Слайд 1
Преподаватель физики. Сегодняшний урок хотелось бы начать с эпиграфа: «Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего представить» А. Эйнштейн.
Слайд 2. Задача физики - выявить и понять связь между наблюдаемыми явлениями и установить соотношение между величинами, их характеризующими. Количественное описание физического мира невозможно без математики.
Преподаватель математики. Математика создает методы описания, соответствующие характеру физической задачи, дает способы решения уравнений физики.
Преподаватель физики. Еще в 18 веке А. Вольта (итальянский физик , химик и физиолог , один из основоположников учения об электричестве ; граф Алесса́ндро Джузеппе Анто́нио Анаста́сио Джерола́мо Умберто Во́льта ) говорил: «Что можно сделать хорошего, особенно в физике, если не сводить все к мере и степени?»
Преподаватель математики. Математические построения сами по себе не имеют отношения к свойствам окружающего мира, это чисто логические конструкции. Они приобретают смысл только тогда, когда применяются к реальным физическим процессам. Математик получает соотношения, не интересуясь, для каких физических величин они будут использованы. Одно и то же математическое уравнение можно применять для описания множества физических объектов. Именно эта замечательная общность делает математику универсальным инструментом для изучения естественных наук. Эту особенность математики мы будем использовать на нашем уроке.
Преподаватель физики. На прошлом уроке были сформулированы основные определения по теме «Механические колебания», но не было аналитического и графического описания колебательного процесса.
Клип.
Слайд 4.
3. Сообщение темы и цели урока.
Преподаватель физики. Давайте попробуем сформулировать тему и цель урока.
(Преподаватель обращает внимание на то, что каждый правильный ответ отмечается баллом, который будет учитываться при выставлении оценок за работу на уроке.)
Слайд 5.
Преподаватель математики. Мы изучили тему: «Графики тригонометрических функций и их преобразования». А тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Сегодня на уроке мы займемся созданием математической модели гармонических колебаний.
Алгебра занимается тем, что описывает реальные процессы на математическом языке в виде математических моделей, а затем уже имеет дело не с реальными процессами, а с этими моделями, используя различные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.
4. Актуализация опорных знаний по физике.
Слайд 6
Что такое колебания? (это реальный физический процесс) .
Что называется гармоническими колебаниями?
Приведите примеры колебательных процессов.
Слайд 7
Что называется амплитудой колебаний?
Определите амплитуду колебаний по графику зависимости координаты от времени.
Слайд 8
Что называется периодом колебаний?
Определите период колебаний по графику зависимости координаты от времени.
Слайд 9
Что называется частотой колебаний?
Определите частоту колебаний по графику зависимости координаты от времени.
Слайд 10
Что называется циклической частотой колебаний?
Определите циклическую частоту колебаний по графику зависимости координаты от времени.
Слайд 11
Определите начальные фазы колебаний для каждого из четырех рисунков.
Слайд 12
Преподаватель физики:
- формулирует определение гармонических колебаний;
- напоминает, что в природе не существует таких свободных колебаний;
- уточняет, что в тех случаях, когда трение мало, свободные колебания можно считать гармоническими;
- показывает уравнение гармонических колебаний.
Слайд 13
5. Закрепление знаний.
Игра «Один за всех и все за одного» (Приложение 1)
Обучающимся, сидящим за первой партой, выдается карточка с пустыми окошками для записи ответов. Каждый обучающийся пишет ответ в первое окошко и передает карточку на вторую парту студенту, сидящему за ним. Обучающийся, сидящий за второй партой, пишет ответ во второе окошко и передает карточку дальше и т.д. Если обучающихся в ряду меньше шести человек, то студент с первой парты переходит в конец ряда и пишет ответ в нужное окошко.
Тем обучающимся, которые первые заканчивают заполнение карточки, дается дополнительный балл.
Слайд 13 (проверка)
Слайд 14
6. Актуализация опорных знаний по математике.
Преподаватель математики. «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира» Н.И. Лобачевский.
Сегодня на уроке мы должны научиться строить графики функций гармонических колебаний, используя умение строить синусоиду и знание правил сжатия (растяжения) и параллельного переноса вдоль осей координат. Для этого вспомним преобразования графиков тригонометрических функций.
Слайд 15
Что нужно сделать с графиком тригонометрической функции, если
y=sin x y=sin x+2 y=sin x-2
y=sinx y=sin(x+a) y=sin(x-a)
y=sinx y=2sinx y=1/2sinx
y=cosx y=cos2x y=cos(1/2x)
Слайды 15-19
6. Закрепление знаний.
Самостоятельная работа. (Приложение 2)
Преподаватель математики. Полученные вами уравнения являются уравнениями (законами) гармонических колебаний (алгебраическая модель), а построенный график – графическая модель гармонических колебаний . Таким образом, осуществляя моделирование гармонических колебаний, мы создали две математические модели гармонических колебаний: алгебраическую и графическую. Конечно, эти модели - “идеальные” (сглаженные) модели гармонических колебаний. Колебания - более сложный процесс. Для построения более точной модели необходимо учитывать больше параметров, влияющих на этот процесс.
Преподаватель физики:
Какие колебательные системы вы знаете?
Кто знает, как использовался математический маятник для доказательства вращения Земли?
Слайды 20-21
Сообщение обучающегося о маятнике Фуко. (Приложение 3)
Клип
Слайд 22
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Слайд 23
Преподаватель математики. Закончить урок нам хотелось бы словами Ф. Бекона: «Все сведения о природных телах и их свойствах должны содержать точные указания на число, вес, объем, размеры… Практика рождается только из тесного соединения физики и математики».
Преподаватель физики. Сегодня на уроке мы рассмотрели свободные колебания, на примере решения задач мы убедились в том, что все физические величины, описывающие гармонические колебания, меняются по гармоническому закону. Но свободные колебания являются затухающими. Наряду со свободными колебаниями, существуют колебания вынужденные. Изучением вынужденных колебаний мы займемся на следующем уроке.
8. Домашнее задание.
Слайд 24
9. Рефлексия.
Команда _________________________________ |
Приложение 2
Самостоятельная работа
1 вариант
1 вариант Фамилия: |
Через |
А=50 см, ω= 2 рад/с, 0 = |
Проверил обучающийся: |
Оценка по физике: |
Оценка по математике: |
Самостоятельная работа
2 вариант
2 вариант Фамилия: |
Записать уравнение гармонического колебания: |
Через |
Составить уравнение гармонического колебания из данных величин |
А=30 см, ω= 3 рад/с, 0 = |
Построить график гармонического колебания по составленному уравнению |
Проверил обучающийся: . Одно из самых наглядных доказательств было найдено французским физиком и астрономом Жаном Фуко в г., он подвесил огромный маятник в парижском Пантеоне-зале с очень высоким куполом. Длина подвеса была равна 67 м. Масса шара 28 кг. Маятник качался несколько часов подряд. Снизу шар имел острие, а на полу насыпали кольцом диаметром 6 метров грядочку из песка. Маятник раскачивали. Острие стало оставлять на песке бороздки. Через несколько часов он чертил бороздки в другой части грядочки. Плоскость колебаний маятника словно поворачивалась по часовой стрелке. На самом деле плоскость колебаний маятника сохранялась. Вращалась планета, увлекая за собой Пантеон с его куполом и песочной грядкой. (На экране фото маятника Фуко) В феврале 2011 года модель маятника появилась в Киеве . Он установлен в . Шар из бронзы весит 43 килограмма, а длина нити составляет 22 метра . Киевский маятник Фуко считается самым большим в СНГ и одним из самых крупных в Европе. Действующий маятник Фуко c длиной нити 20 метров имеется в Сибирском федеральном университете , включающий в себя башню Фуко с маятником, длина нити которого - 15 метров . В сентябре 2013 года в атриуме 7-го этажа Фундаментальной библиотеки МГУ запустили маятник Фуко массой 18 кг и длиной 14 метров . Действующий маятник Фуко, массой 12 килограммов и длиной нити 8,5 метров , имеется в Волгоградском планетарии . Действующий маятник Фуко в настоящее время есть в Санкт-Петербургском планетарии . Длина его нити - 8 метров . Опыт Фуко был повторен в Исаакиевском соборе в Петербурге. Маятник совершал 3 колебания за минуту. Исходя из этих данных, вы можете оценить длину маятника, а, следовательно, и высоту Исаакиевского собора. 1. Гармоническое колебание Колебательное движение – это повторяющиеся с течением времени движение, при котором, точка выйдя из положения равновесия перемещается в пространстве в некотором ограниченном интервале. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колеблющуюся точку. Если при колебательном движении существует некоторое время, через которое место положения точки в пространстве повторяется, то такое колебание называется периодическим. В природе и технике широко распространены периодические процессы. Вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, работа сердца, качание маятника, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук и т. д. являются примерами периодических процессов. Из периодических движений наиболее простейшими являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Любое сложное колебание можно разложить в ряд гармонических колебаний.
Гармонические колебания – это периодические колебания с периодом . Х – смещение точки от положения равновесия, определяется синусом или косинусом. А – амплитуда колебаний, максимальное отклонение от положения равновесия, которое достигается при колебательном движении. – фаза колебаний. Фаза характеризует ту долю от амплитуды, которую будет иметь смещение в данный момент времени. – начальная фаза характеризует ту долю от амплитуды, которую будет иметь смещение в начальный момент времени.
Скорость Ускорение Из второго закона Ньютона: Под действием силы груз совершает гармонические колебания. m и ω –постоянные, Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих сил. Роль квазиупругой силы может выполнять результирующая сил:
Уравнение (7) называется дифференциальным уравнением гармонического колебания. 2. Физический и математический маятник.
Для физического маятника необходимо использовать основное уравнение динамики Если обозначить расстояние от центра вращения до точки приложения силы – а , плечо – р, то момент силы можно представить: Знак минус показывает, что момент силы ведет к уменьшению угла поворота φ. Так как угловая скорость Если угол φ мал, то
Сравним (*) и (**) Период колебаний физического маятника
Существует математический маятник – маятник, который имеет длину подвеса во много раз больше размеров самого маятника. Пусть а – длина математического маятника, тогда момент инерции математического маятника:
Период математического маятника:
Движение математического маятника при больших углах отклонения будет периодическим, но не гармоническим (период колебаний будет зависеть от размаха). Гармоническими будут колебания при малых углах отклонения. Приведенной длиной а пр физического маятника называется такая длина математического маятника, при которой период физического маятника равен периоду математического маятника. Т физ = Т мат Точка, удаленная от центра вращения на величину называется центром качения. Ось качения и центр качения взаимообратимы. 3. Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Методическая разработка интегрированного урока Пермь, 2017 4. Степанова Г.И. Сборник задач по физике для 1011х классов. колебательных процессов. Сегодня на уроке мы займемся созданием окошко и передает карточку на вторую парту студенту, сидящему за ним. 6. Закрепление знаний. осуществляя моделирование гармонических колебаний, мы создали две Учитель физики : При решении любой проблемы мы можем идти двумя путями: индуктивным и дедуктивным. Индуктивный путь предполагает возможность обобщения при анализе решения частных задач, дедуктивным методом мы сможем идти от общих принципов к частным. Какой метод предпочтительнее в нашем случае? Обсудите вопрос в парах и выскажите свой мнение. Итак, по результатам обсуждения можно сделать вывод, что в данном случае нам необходимо использовать индуктивный метод; мы должны получить общие для любого колебания приемы, позволяющие описать состояние колебательной системы в произвольный момент времени. Поэтому начнем обсуждение с частной задачи. Задача 1. Заряд на обкладках конденсатора меняется по закону: πt+ В какие моменты времени в течение периода сила тока в контуре составляет от максимального значения? Чему в эти моменты времени равно напряжение? Какую долю от максимального оно в эти моменты времени составляет? Емкость конденсатора в контуре равна 2 мкФ. Предложите схему решения задачи, попытайтесь найти разные подходы к решению. (Работа ведется в парах) Итак, давайте соберем воедино результаты вашего обсуждения. (На доске собираются идеи, предложенные различными парами, обсуждаются и в результате формируется два подхода к решению задачи: аналитический и графический). Какие действия необходимы для реализации аналитического решения? Учитель математики: Изучая физические закономерности, связывающие изменения заряда и силы тока в контуре, вы пришли к выводу, что (
t
)=
i
(
t
) , поэтому, необходимо вспомнить, как найти производную тригонометрической функции. Учитель физики: Итак, математические закономерности поиска производной сложной тригонометрической функции применим к решению нашей задачи. Запишите уравнение изменения силы тока самостоятельно. Представьте полученные результаты для общего обсуждения. Итак, уравнение изменения силы тока выглядит следующим образом: i(t)= - 0,03πsin(πt+3π). Используя то, что сила тока в искомый момент времени составляет от максимального значения, равного 0,03π, составим уравнение 0,03πsin(πt+3π). Учитель математики: Уравнение данного типа является тригонометрическим. Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете, каковы способы их решения? Можно ли аналогично решить уравнение из задачи? Учитель физики: - Решим наше тригонометрическое уравнение, найдем искомые моменты времени. (К доске вызывается ученик). Для поиска напряжения на конденсаторе в данный момент времени необходимо получить уравнение зависимости u ( t ). Зная связь заряда конденсатора и напряжения, получите уравнение и найдите искомое значение напряжения. (Задания выполняются самостоятельно на листе Приложения). Составим алгоритм решения, опираясь на возможности математического анализа. 1.Запишем уравнения изменения силы тока от времени, используя математическую связь между изменением заряда и силы тока. 2.Зная, что сила тока в искомый момент времени составляет 1/6 от максимального значения, составим и решим тригонометрическое уравнение и найдем соответствующие моменты времени. 3.Запишем уравнение изменения напряжения и вычислим его в ранее найденные моменты времени. Подобная схема решения может использоваться для анализа любого колебательного процесса. В качестве домашнего задания вам предлагается задача 2: Точка совершает гармонические колебания с периодом в 2 секунды, амплитудой 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25 мм. Перейдем ко второму способу решения исходной задачи - графическому. Учитель математики: Что нужно знать, чтобы построить график данной функции? График какой функции является исходным ? Какие преобразования графика нужно совершить, чтобы построить график функции I (t)= - 0,03πsin(πt+3π)? Как построить графики функций, изображенные на слайде № 10? Учитель физики: Воспользуемся графиком функции, отражающим изменения заряда и силы тока со временем(Слай №12. Какую информацию по условию задачи подскажут графики? Ответьте на вопрос задачи самостоятельно, используя лист Приложения. Совпадают ли полученные ответы? Какой из методов предпочтительнее и почему? Нет ли еще одного варианта решения? Подумайте над этим вопросом дома. Индуктивный метод часто используют, когда необходимо проанализировать и сравнить данные эксперимента или наблюдения. На одном из предыдущих уроков мы проводили лабораторную работу по исследованию зависимости периода колебаний математического маятника от его длины. В качестве дополнительного задания вы строили график зависимости координаты колеблющегося маятника от времени x ( t )=0,1 cost . Давайте воспользуемся этим графиком для ответа на следующие вопросы: За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет путь: от среднего положения до крайнего первую половину пути вторую половину пути Можно ли оценить эти промежутки времени экспериментально? В какой промежуток времени скорость тела меньше максимальной скорости в 2 раза? Какими математическими методами нужно воспользоваться для ответов на поставленные вопросы? |
Рассмотрим под действием каких сил совершаются колебания. Для этого необходимо знать m
и х
. Анализируя колебания грузика, мы видим, что грузик останавливается в крайних положениях, а затем движется в противоположном направлении, т. е. грузик имеет переменные скорость и ускорение.
или 
Рассмотрим физический маятник с углом отклонения φ. Физический маятник – это тело, имеющее ось вращения.
(**)
Период колебаний физического маятника зависит от распределения массы относительно оси вращения для малых углов отклонения
.
В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникнуть электрические колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, напряжения) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей. Рассмотрим цепь, состоящую из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 1). Такая цепь называется колебательным контуром. Колебания в контуре можно вызвать, сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд ±q. Тогда в начальный момент времени при t = 0 между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого . Так как конденсатор замкнут на катушку индуктивности, то он начнет разряжаться, и в цепи потечет электрический ток I. В результате этого заряд на обкладках конденсатора (а значит, и энергия электрического поля) будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки, которая равна , будет возрастать.
