Sylinterin h korkeus lateraalisen generatrixin kehityksessä. Sylinteri geometrisena hahmona

Jokaisen sylinterin pohjan pinta-ala on π r 2, molempien emästen pinta-ala on 2π r 2 (kuvio).

Sylinterin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala, jonka kanta on 2π r, ja korkeus on yhtä suuri kuin sylinterin korkeus h, eli 2π rh.

Sylinterin kokonaispinta-ala on: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ h).

Otetaan sylinterin sivupinnan pinta-ala lakaisualue sen sivupinta.

Siksi oikean pyöreän sylinterin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin vastaavan suorakulmion pinta-ala (kuva) ja se lasketaan kaavalla

S b.c. = 2πRH, (1)

Jos lisäämme sen kahden kannan pinta-alan sylinterin sivupinnan pinta-alaan, saamme alueen koko pinta sylinteri

S täynnä \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Suora sylinteritilavuus

Lause. Oikean sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin sen pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo , eli

missä Q on pohjapinta-ala ja H on sylinterin korkeus.

Koska sylinterin kantapinta-ala on Q, on olemassa sarjoja rajattuja ja merkittyjä polygoneja, joiden pinta-ala on Q n ja Q' n sellasta

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) K n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Muodostetaan sarjoja prismoista, joiden kantat ovat edellä kuvatut ja piirretyt monikulmiot ja joiden sivureunat ovat yhdensuuntaiset tietyn sylinterin generatriisin kanssa ja niiden pituus on H. Nämä prismat on kuvattu ja piirretty annetulle sylinterille. Niiden tilavuudet löytyvät kaavoista

V n= Q n H ja V' n= Q' n H.

Siten,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Seuraus.
Oikean pyöreän sylinterin tilavuus lasketaan kaavalla

V = π R 2 H

missä R on pohjan säde ja H on sylinterin korkeus.

Koska pyöreän sylinterin kanta on ympyrä, jonka säde on R, niin Q \u003d π R 2, ja siksi

Sylinterin käsite

Määritelmä 1

Geometrinen kuvio, joka muodostuu kahdesta samansuuruisesta yhdensuuntaisissa tasoissa olevista ympyröistä, joiden kaikki pisteet on kytketty rinnakkaisten suorien väliin siten, että yksikään piste ei jää kytkemättä. sylinteri(Kuva 1).

Kuva 1. Sylinteri

Ympyröitä kutsutaan sylinterin pohjat ja niitä yhdistävät viivat - tuottaa. Suoraa, joka kulkee perusympyröiden keskipisteiden läpi, kutsutaan sylinterin akseli ja kaikki generaattorit -- sylinterin sivupinta.

Sylinterityypit

Määritelmä 2

Kutsutaan sylinteriä, jossa kaikki generaattorit ovat kohtisuorassa kantojen läpi kulkeviin tasoihin nähden suoraan. Muuten hän on vino(Kuva 2).

Kuva 2. Suorat ja vinot sylinterit

Sylinterin pinta-ala

Sylinterin pinta-ala määritellään seuraavasti:

Nyt löydämme kaavat sivupinnan ja pohjan pinta-alan laskemiseksi.

Koska pohjat ovat ympyröitä, se on selvää

Lause 1

Sylinterin sivupinta-ala määritellään sylinterin pohjan kehän ja sen korkeuden tulona.

Todiste.

Tämän lauseen todistamiseksi meidän on löydettävä sylinterin sivupinnan taittumaton alue (kuva 3).

Kuva 3

Näemme, että sylinterin sivupinnan kehitys on suorakulmio. Suorakulmion korkeus on yhtä suuri kuin sylinterin $h$ korkeus ja pituus on yhtä suuri kuin sylinterin kantaa rajoittavan ympyrän pituus, ts.

Lause on todistettu.

Sylinterin tilavuus

Lause 2

Sylinterin tilavuus määritellään sylinterin pohjan pinta-alan ja sen korkeuden tulona.

Todiste.

Tarkastellaan sylinteriä, jonka säde on $r$ ja korkeus $h$. Etsitään sen tilavuus $V$. Tätä varten kirjoitamme siihen ensin säännöllisen $n-$gonaalisen prisman, johon piirrämme vielä yhden sylinterin. Olkoon toisen sylinterin säde yhtä suuri kuin $r"$ ja sen tilavuus yhtä suuri kuin $V"$ (kuva 4).

Kuva 4

Kuten tiedämme, prisman tilavuus on $S_(main pr.)h$. Tästä syystä saamme seuraavan arvion

Sitten arviosta saamme

Lause on todistettu.

Esimerkki tehtävästä

Esimerkki 1

Laske sylinterin kokonaispinta-ala ja tilavuus, jos sen pohjan säde on $7$ cm ja sen korkeus on kaksinkertainen suurempi halkaisija perusteita.

Päätös.

Selvitetään ensin sylinterin korkeus. Koska korkeus on kaksi kertaa halkaisija, saamme

Kuten tiedämme

Lauseen 1 mukaan

Lauseen 2 mukaan

Vastaus: 490 $\pi ,\ 1372\pi $

Sylinteri on geometrinen kappale, jota rajoittaa kaksi yhdensuuntaista tasoa ja sylinterimäinen pinta. Artikkelissa puhumme siitä, kuinka löytää sylinterin pinta-ala, ja kaavan avulla ratkaisemme esimerkiksi useita ongelmia.

Sylinterissä on kolme pintaa: ylä-, ala- ja sivupinta.

Sylinterin ylä- ja alaosa ovat ympyröitä ja ne on helppo tunnistaa.

Tiedetään, että ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin πr 2 . Siksi kaava kahden ympyrän (sylinterin ylä- ja alaosa) pinta-alalle näyttää tältä πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Kolmas, sylinterin sivupinta, on sylinterin kaareva seinämä. Jotta tämä pinta saadaan paremmin esille, yritetään muuttaa sitä tunnistettavan muodon saamiseksi. Kuvittele, että sylinteri on tavallinen tölkki, jossa ei ole yläkantta ja pohjaa. Tehdään sivuseinään pystysuora viilto purkin ylhäältä alaspäin (kuvassa vaihe 1) ja yritetään avata (suoristaa) saatua kuviota mahdollisimman paljon (vaihe 2).

Tuloksena olevan purkin täydellisen avaamisen jälkeen näemme tutun hahmon (vaihe 3), tämä on suorakulmio. Suorakulmion pinta-ala on helppo laskea. Mutta sitä ennen palataanpa hetkeksi alkuperäiseen sylinteriin. Alkuperäisen sylinterin kärki on ympyrä, ja tiedämme, että ympyrän ympärysmitta lasketaan kaavalla: L = 2πr. Se on merkitty kuvassa punaisella.

Kun sylinterin sivuseinämä on täysin laajentunut, näemme, että ympärysmitta tulee tuloksena olevan suorakulmion pituiseksi. Tämän suorakulmion sivut ovat ympärysmitta (L = 2πr) ja sylinterin korkeus (h). Suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivujen tulo - S = pituus x leveys = L x h = 2πr x h = 2πrh. Tuloksena olemme saaneet kaavan sylinterin sivupinta-alan laskemiseksi.

Sylinterin sivupinnan pinta-alan kaava
S puoli = 2ph

Sylinterin koko pinta-ala

Lopuksi, jos laskemme yhteen kaikkien kolmen pinnan pinta-alat, saadaan kaava sylinterin kokonaispinta-alalle. Sylinterin pinta-ala on yhtä suuri kuin sylinterin yläosan pinta-ala + sylinterin pohjan pinta-ala + sylinterin sivupinnan pinta-ala tai S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Joskus tämä lauseke kirjoitetaan samalla kaavalla 2πr (r + h).

Sylinterin kokonaispinta-alan kaava
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r on sylinterin säde, h on sylinterin korkeus

Esimerkkejä sylinterin pinta-alan laskemisesta

Ymmärtääksesi yllä olevat kaavat, yritetään laskea sylinterin pinta-ala esimerkkien avulla.

1. Sylinterin pohjan säde on 2, korkeus 3. Määritä sylinterin sivupinnan pinta-ala.

Kokonaispinta-ala lasketaan kaavalla: S-puoli. = 2ph

S puoli = 2 * 3,14 * 2 * 3

S puoli = 6,28 * 6

S puoli = 37,68

Sylinterin sivupinta-ala on 37,68.

2. Kuinka löytää sylinterin pinta-ala, jos korkeus on 4 ja säde on 6?

Kokonaispinta-ala lasketaan kaavalla: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Sylinteri (pyöreä sylinteri) - runko, joka koostuu kahdesta ympyrästä, jotka on yhdistetty rinnakkaisella siirrolla, ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät näiden ympyröiden vastaavat pisteet. Ympyröitä kutsutaan sylinterin kannaksi ja segmenttejä, jotka yhdistävät ympyrän ympyrän vastaavia pisteitä, kutsutaan sylinterin generaattoreiksi.

Sylinterin pohjat ovat yhtä suuret ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja sylinterin generaattorit ovat yhdensuuntaisia ​​ja yhtä suuria. Sylinterin pinta koostuu pohjasta ja sivupinnasta. Sivupinnan muodostavat generaattorit.

Sylinteriä kutsutaan suoraksi, jos sen generaattorit ovat kohtisuorassa pohjan tasoihin nähden. Sylinteriä voidaan pitää kappaleena, joka saadaan kiertämällä suorakulmiota sen toisen sivun ympäri akselina. On myös muita sylintereitä - elliptisiä, hyperbolisia, parabolisia. Prismaa pidetään myös eräänlaisena sylinterinä.

Kuvassa 2 on kalteva sylinteri. Ympyrät, joiden keskipisteet O ja O 1 ovat sen kantaa.

Sylinterin säde on sen pohjan säde. Sylinterin korkeus on pohjan tasojen välinen etäisyys. Sylinterin akseli on suora viiva, joka kulkee pohjan keskipisteiden läpi. Se on samansuuntainen generaattoreiden kanssa. Sylinterin poikkileikkausta sylinterin akselin kautta kulkevasta tasosta kutsutaan aksiaalileikkaukseksi. Tasoa, joka kulkee suoran sylinterin generatriisin läpi ja on kohtisuorassa tämän generatrixin läpi vedetyn aksiaalileikkauksen kanssa, kutsutaan sylinterin tangenttitasoksi.

Taso, joka on kohtisuorassa sylinterin akseliin nähden, leikkaa sen sivupinnan ympyrää pitkin, joka on yhtä suuri kuin pohjan kehä.

Sylinteriin kirjoitettu prisma on prisma, jonka kantat ovat yhtä suuret monikulmiot, jotka on kirjoitettu sylinterin kantaan. Sen sivureunat ovat sylinterin generatriceja. Prisman sanotaan olevan rajattu lähellä sylinteriä, jos sen kantat ovat yhtä suuret monikulmiot, jotka on rajattu lähellä sylinterin kantaa. Sen pintojen tasot koskettavat sylinterin sivupintaa.

Sylinterin sivupinnan pinta-ala voidaan laskea kertomalla generaattorin pituus sylinterin poikkileikkauksen kehällä generatriisiin nähden kohtisuoralla tasolla.

Oikean sylinterin sivupinta-ala löytyy sen kehityksestä. Sylinterin kehitys on suorakulmio, jonka korkeus on h ja pituus P, joka on yhtä suuri kuin pohjan kehä. Siksi sylinterin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kehitysalue ja lasketaan kaavalla:

Erityisesti oikealle pyöreälle sylinterille:

P = 2πR ja Sb = 2πRh.

Sylinterin kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa.

Suora pyöreä sylinteri:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Kaltevan sylinterin tilavuuden löytämiseksi on kaksi kaavaa.

Voit löytää tilavuuden kertomalla generaattorin pituuden sylinterin poikkileikkauspinta-alalla tasolla, joka on kohtisuorassa generatriisiin nähden.

Kaltevan sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo (etäisyys niiden tasojen välillä, joissa pohjat sijaitsevat):

V = Sh = S l sin α,

jossa l on generatriisin pituus ja α on generatriisin ja kantatason välinen kulma. Suoralle sylinterille h = l.

Kaava pyöreän sylinterin tilavuuden löytämiseksi on seuraava:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2/4) h,

missä d on pohjan halkaisija.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tieteen nimi "geometria" käännetään "maan mittaukseksi". Se syntyi ensimmäisten muinaisten maanmittaustyöntekijöiden ponnistelujen kautta. Ja se tapahtui näin: pyhän Niilin tulvien aikana vesivirrat huuhtoivat toisinaan maanviljelijöiden tonttien rajat, ja uudet rajat eivät ehkä ole samat kuin vanhoja. Talonpojat maksoivat verot faaraon kassaan suhteessa maa-alueen kokoon. Vuodon jälkeen erikoishenkilöt mittasivat peltoalaa uusien rajojen sisällä. Heidän toimintansa seurauksena syntyi uusi tiede, joka kehitettiin muinaisessa Kreikassa. Siellä hän sai nimen ja hankki käytännössä moderni ilme. Tulevaisuudessa termistä tuli litteiden ja kolmiulotteisten hahmojen tieteen kansainvälinen nimi.

Planimetria on geometrian haara, joka käsittelee tasokuvioiden tutkimusta. Toinen tieteenala on stereometria, joka tarkastelee spatiaalisten (volumetristen) kuvioiden ominaisuuksia. Tässä artikkelissa kuvattu sylinteri kuuluu myös tällaisiin lukuihin.

Sylinterimäisten esineiden esiintymisestä jokapäiväisessä elämässä on paljon esimerkkejä. Melkein kaikki pyörimisen osat - akselit, holkit, kaulat, akselit jne. ovat sylinterimäisiä (paljon harvemmin kartiomaisia). Sylinteriä käytetään laajasti rakentamisessa: tornit, tuki, koristepylväät. Ja lisäksi astiat, tietyt pakkaustyypit, eri halkaisijat omaavat putket. Ja lopuksi - kuuluisat hatut, joista on tullut miesten eleganssin symboli pitkään. Lista on loputon.

Sylinterin määritelmä geometrisena kuviona

Sylinteriä (ympyräsylinteriä) kutsutaan yleensä hahmoksi, joka koostuu kahdesta ympyrästä, jotka haluttaessa yhdistetään rinnakkaissiirrolla. Nämä ympyrät ovat sylinterin pohjat. Mutta vastaavia pisteitä yhdistäviä viivoja (suorat segmentit) kutsutaan "generaattoreiksi".

On tärkeää, että sylinterin pohjat ovat aina yhtä suuret (jos tämä ehto ei täyty, meillä on edessämme katkaistu kartio, jotain muuta, mutta ei sylinteriä) ja ovat yhdensuuntaisissa tasoissa. Ympyröiden vastaavat pisteet yhdistävät segmentit ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret.

Äärettömän generaattorijoukon kokonaisuus ei ole muuta kuin sylinterin sivupinta - yksi tietyn geometrisen hahmon elementeistä. Sen toinen tärkeä osa on edellä käsitellyt ympyrät. Niitä kutsutaan emäksiksi.

Sylinterityypit

Yksinkertaisin ja yleisin sylinterityyppi on pyöreä. Sen muodostaa kaksi säännöllistä ympyrää, jotka toimivat pohjana. Mutta niiden sijaan voi olla muita lukuja.

Sylinterien pohjat voivat muodostaa (ympyröitä lukuun ottamatta) ellipsejä ja muita suljettuja hahmoja. Mutta sylinterillä ei välttämättä ole suljettu muoto. Esimerkiksi paraabeli, hyperbola tai muu avoin funktio voi toimia sylinterin pohjana. Tällainen sylinteri on auki tai laukeaa.

Generaattien kaltevuuskulman mukaan sylinterit voivat olla suoria tai vinoja. Oikeassa sylinterissä generaattorit ovat tiukasti kohtisuorassa pohjan tasoon nähden. Jos tämä kulma poikkeaa 90°:sta, sylinteri on vinossa.

Mikä on vallankumouksen pinta

Oikea pyöreä sylinteri on epäilemättä yleisin tekniikassa käytetty kierrospinta. Joskus teknisten ohjeiden mukaan käytetään kartiomaisia, pallomaisia ​​ja joitain muita pintoja, mutta 99% kaikista pyörivistä akseleista, akseleista jne. valmistettu sylinterien muodossa. Ymmärtääksemme paremmin, mitä kierrospinta on, voimme pohtia, kuinka itse sylinteri muodostuu.

Oletetaan, että siellä on viiva a sijoitettu pystysuoraan. ABCD on suorakulmio, jonka yksi sivuista (lohko AB) on suoralla viivalla a. Jos pyöritämme suorakulmiota suoran ympärillä, kuten kuvassa näkyy, tilavuus, jonka se vie pyöriessään, on kierroskappaleemme - oikea pyöreä sylinteri, jonka korkeus on H = AB = DC ja säde R = AD = BC.

Tässä tapauksessa kuvion - suorakulmion - pyörimisen seurauksena saadaan sylinteri. Pyörittämällä kolmiota saat kartion, kiertämällä puoliympyrän - pallon jne.

Sylinterin pinta-ala

Tavallisen suoran pyöreän sylinterin pinta-alan laskemiseksi on tarpeen laskea pohjan ja sivupinnan pinta-alat.

Katsotaan ensin, kuinka sivupinta-ala lasketaan. Tämä on sylinterin kehän ja korkeuden tulo. Ympärysmitta puolestaan ​​on kaksinkertainen universaalin luvun tulo P ympyrän säteeseen.

Ympyrän pinta-alan tiedetään olevan yhtä suuri kuin tuote P säteen neliöön. Joten lisäämällä kaavat sivupinnan määritysalueelle kaksinkertaisella perusalueen lausekkeella (niitä on kaksi) ja suorittamalla yksinkertaisia ​​algebrallisia muunnoksia, saamme lopullisen lausekkeen pinta-alan määrittämiseksi. sylinteri.

Figuurin tilavuuden määrittäminen

Sylinterin tilavuus määräytyy vakiokaavion mukaan: pohjan pinta-ala kerrotaan korkeudella.

Siten lopullinen kaava näyttää tältä: haluttu määritellään kehon pituuden tulona universaalilla numerolla P ja perussäteen neliö.

Tuloksena oleva kaava on sanottava, että se soveltuu odottamattomimpien ongelmien ratkaisemiseen. Samalla tavalla kuin esimerkiksi sylinterin tilavuus, määritetään sähköjohdotuksen tilavuus. Tämä voi olla tarpeen johtojen massan laskemiseksi.

Ainoa ero kaavassa on, että yhden sylinterin säteen sijasta on johdinsydämen halkaisija jaettuna kahteen osaan ja langan johtimien lukumäärä näkyy lausekkeessa N. Myös langan pituutta käytetään korkeuden sijasta. Siten "sylinterin" tilavuutta ei lasketa yhdellä, vaan punoksen lankojen lukumäärällä.

Tällaisia ​​laskelmia tarvitaan usein käytännössä. Loppujen lopuksi merkittävä osa vesisäiliöistä on valmistettu putken muodossa. Ja usein on tarpeen laskea sylinterin tilavuus jopa kotitaloudessa.

Kuten jo mainittiin, sylinterin muoto voi kuitenkin olla erilainen. Ja joissakin tapauksissa on laskettava, mikä on kaltevan sylinterin tilavuus.

Erona on, että pohjan pinta-alaa ei kerrota generatrixin pituudella, kuten suoran sylinterin tapauksessa, vaan tasojen välisellä etäisyydellä - niiden väliin rakennetulla kohtisuoralla segmentillä.

Kuten kuvasta voidaan nähdä, tällainen segmentti on yhtä suuri kuin generatriisin pituuden tulo generatriisin kaltevuuskulman sinillä tasoon nähden.

Kuinka rakentaa sylinterin lakaisukone

Joissakin tapauksissa on tarpeen leikata sylinterikalvain. Alla oleva kuva näyttää säännöt, joilla aihio rakennetaan tietyn korkeuden ja halkaisijan omaavan sylinterin valmistukseen.

Huomaa, että kuva on esitetty ilman saumoja.

Viistettyjen sylinterien erot

Kuvitellaan suoraa sylinteriä, jonka toiselta puolelta rajoittaa generaattoreihin nähden kohtisuorassa oleva taso. Mutta toisella puolella olevaa sylinteriä rajoittava taso ei ole kohtisuorassa generaattoreihin nähden eikä ole yhdensuuntainen ensimmäisen tason kanssa.

Kuvassa on viisto sylinteri. Lentokone a muussa kuin 90° kulmassa generaattoreihin nähden, leikkaa kuvion.

Tämä geometrinen muoto on käytännössä yleisempi putkiliitosten (kyynärpäiden) muodossa. Mutta on jopa rakennuksia, jotka on rakennettu viistetyn sylinterin muotoon.

Viistetyn sylinterin geometriset ominaisuudet

Viistetyn sylinterin yhden tason kaltevuus muuttaa hieman sekä tällaisen kuvion pinta-alan että tilavuuden laskentajärjestystä.